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单选题 已知矩阵
，且A－E为降秩矩阵。当A的特征值之和最小时，求出正交矩阵P为（），使PTAP为对角矩阵。
，且A－E为降秩矩阵。当A的特征值之和最小时，求出正交矩阵P为（），使PTAP为对角矩阵。 A.
B.
C.
D.
正确答案： D
答案解析: 因为A－E为降秩矩阵，所以行列式|A－E|＝0，即
解得a＝1或4。设矩阵A的特征值为λ1，λ2，λ3，因A的特征值之和等于A的迹，则有λ1＋λ2＋λ3＝3a－3，可见当a＝1时，λ1＋λ2＋λ3最小，所以
。
所以矩阵A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝1。对于特征值λ1＝－2，解方程组（－2E－A）＝，由
得其同解方程组
，解得基础解系为1＝（1，1，－1）T，单位化得
。对于λ2＝λ3＝1，解方程组（E－A）＝，由
得其同解方程组x1＋x2－x3＝0，解得基础解系2＝（1，－1，0）T，3＝（1，0，1）T。将2，3正交化，令2＝2，
再将2，3单位化得
令
则有
相关知识：第五章 矩阵的相似化简
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